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物理学自诩为自然科学提供源泉与支撑。她的上游是数学，她的下游是其它自然科学分支。物理学借助相互作用的哲学来滋润下游分支。而在上游，物理学通过模型来提炼世界的本源。因此，物理学模型的数学求解可能占据物理学至高境界之一。很多物理学名家因为提出一个模型或求解一个模型而流芳于世。到了今天，这已经不是稀奇事。而调侃物理学模型及其背后求解之掌故经常成为物理学子茶余饭后津津乐道的话题，其滋味应该远胜于饭后一杯大红袍、一壶碧螺春。

物理学中著名的、具有普适性的模型很多。笔者不才，对此所知甚少，只是拘泥于所从事的一些小领域中的一些八卦故事。笔者熟知的Ising 模型发端于磁学和统计物理，不但成为凝聚态物理的若干基石之一，还对构建自然现象和社会行为的二元论图像作出莫大贡献。现在，对很多自然社会现象，我们的第一反应就是对组成之个体进行二元化分类，然后由Ising 模型来近似描述个体之间的相互作用。当然，基于Ising模型的推广也很多，如Potts 模型、XY模型和海森堡模型等，但总体格局并未突变。

一个有普适性的物理模型，如果能够求得其严格解，将是一件大事，虽然其“伟大”意义与佩尔曼证明庞加莱猜想和张益唐证明孪生素数猜想未必是一个等级。不过，一个模型漂亮的严格解，不但彰显求解者极高的数学天赋和物理洞察力，更对相关物理的理解有深刻的推动作用。模型的严格解不但搭建起物理的框架，严格解的结论也就成为检验基于模型的物理理论和实验之参考基石。还是以经典自旋Ising 模型为例。Ernst Ising 本人因为严格求解一维Ising 模型(零场而非零温下没有相变)而赚得命名权，Onsager 因为严格求解二维Ising 模型而留名青史。一维和二维Ising 模型严格解的结果如图1 所示。三维Ising 模型至今依然未有严格解，而四维及以上模型就只能作平均场处理了。

图1. 1D 和2D 点阵Ising 模型的严格解图示，其中自旋相互作用只考虑最近邻。2D 点阵中Onsager 给出了相变点T_C 和磁矩m。

当然，物理学中严格可解的模型并不多，大致上十个模型中有一个严格可解。因此，严格解也就显得弥足珍贵。就像数学一般，物理模型的严格解代表了一种沉淀、荣誉和运气，并无一定规范可循。如果您去google，可以看到很多书名如Exactly solvable models in phsyics 之类的专著和科普，几个例子如图2 所示：

图2. 物理学中严格可解模型的一些例子(网上都可以下载到这些专著)。

这里，特别值得点出的是：与经典Ising 模型对应，作为近期之一大事件，看君可能知道加州理工的Alexi Kitaev 于2006 年针对一类如图3 所示的蜂巢晶格量子自旋模型给出了严格解，而这一模型现在就以其大名命名(Kitaev model)。这一严格解首次证明了量子自旋液体的存在，从而对量子计算和量子物理产生重大冲击。物理学家对量子自旋液体的研究正在兴头之上，既风光无限又泥沙俱下。笔者曾经有一篇初级科普文章介绍这一问题，见于公众号《知社学术圈》中“量子自旋芳草在，觅寻液态惹尘埃”一文(点击)。

图3. Kitaev 模型的数学形式与定义，右下图给出蜂巢点阵结构。

http://slideplayer.com/4215132/14/images/8/example+model%3A+hexagonal+Kitaev.jpg

如上所述，物理模型的绝大多数难以获得严格解或干脆就被证明没有严格解，就像最近有计算机证明3D Ising 模型没有严格解一般。事实上，2D Ising 模型的严格解只是针对最简单的情形，如果在模型哈密顿基础上稍加几项，再要求得其严格解就几无可能。因此，过去数百年，需求驱动物理学者发展了数量庞大的各类数值计算与模拟方法，来数值求解各类模型问题。统计物理中的蒙特卡洛模拟与固体系统中的电子密度泛函第一性原理计算可以称作是两大代表。除此以外，大量的针对特定物理分支学科的计算与模拟方法依然在不断扩张，大学中《计算物理》课程不过是触及冰山一角而已。我们姑且将这些方法用卡通表达如图4 所示。闲暇端详，会让人从一下子抓狂到慢慢沉寂下来，也许可以体会其中之一二深邃。

有了众多的数值方法和难以估量的计算平台，物理学模型问题看起来似乎无所不解、无往不利。笔者对蒙特卡洛方法略知一二，曾经赖以为生活技能之一，明白数值方法在物理学研究中的位置。不过，与严格解不同，逻辑上，数值解的结果总是需要其他理论或者实验结果佐证方能令人放心。其中的缺陷源于数值计算毕竟是对热力学极限无限系统的有限尺寸模拟，并无严格解那般夯实与严密。笔者对第一性原理计算方法也有所涉及，其艰辛苦涩只有个中玩家方能体会一二。从自然科学美的角度看，诸如杨振宁先生这般推崇“秋水文章不染尘”的雅士，大概很难将数值计算给出的结论与严格解比肩而事。

如下行文中，我们给出关联电子系统中一个具体实例，来说明数值计算的力度及存在的瑕疵缺憾。

图4. 物理学中的数值方法卡通。此图侧重于意境，并非要推崇或说明什么。

https://www.codeproject.com/KB/recipes/1087025/Computational_physics_diagram.png

https://mgberon.com/content/uploads/2016/12/phys.jpg

毋庸讳言，凝聚态物理和量子材料中也有很多模型。也无需讳言，量子力学中的薛定谔方程是量子波动力学的基础。量子力学下自成蹊，诞生了若干著名的模型，可见于“Exactly solvable models in quantum mechanics”等专著。量子力学延伸到凝聚态物理中，也催生出很多更加切合实际情况的经典模型。例如，关联电子系统(strongly correlated electrons, 即量子材料)中最著名的模型——Hubbard 模型，即是如此，看君应该不会质疑这一点。

理论物理和凝聚态物理学者对Hubbard 模型之情有独钟是不言而喻的，其中一个重要需求就是获得其严格解。1994年，纽约州立大学石溪分校理论物理研究所的V. E. Korepin和F. H. L. Eßler曾经编撰过一本文集“Exactly solvable models of strongly correlated electrons” (World Scientific Publishers出版)，其中2/3 篇幅归结在“The one-dimensional Hubbard model”名下，令人印象深刻，如图5 所示。还有很多类似书籍，展示出诸多学者穷其生命而求Hubbard模型严格解之一二。

图5. Hubbard 模型在强关联电子系统中的崇高地位，引一众英雄竞折腰。

所谓Hubbard 模型，提出者当然是John Hubbard。他1963 年提出这一简化的近似模型来描述固体中金属-绝缘体转变，应该算是固体物理中紧束缚(tight-binding)模型的改进版。它针对晶格中相互作用粒子系综，考虑粒子在晶格位置将的跳跃(hopping)动能项和粒子在位(on-site) 作用势(例如库伦势)，这与薛定谔方程的两项有一定的对应。如果粒子是费米子，即为Hubbard 模型；如果粒子是玻色子，即为Bose-Hubbard 模型。对于一具有周期势的低温量子体系，Hubbard 模型很好地capture 住在位作用能及输运所赋予的物理。如果只考虑布洛赫最低带，粒子间长程相互作用可以忽略不计，这是经典Hubbard 模型。否则，要考虑粒子间的长程相互作用，即为所谓的扩展Hubbard 模型。

这一模型最开始并不那么受青睐，因为很多固体物理问题用紧束缚模型就可以处理得不错。当高温超导电性被发现后，粒子之间的在位库伦势变得很重要，Hubbard 模型正中下怀，很好地描述了强关联系统中的Mott 物理，从而绝处逢生，在超导界唯我独尊之态已持续多年。周期性晶格中最常见的Hubbard 模型形式如图6 所示：

图6. Hubbard模型，以二次量子化的形式写出。

众所周知，一维Hubbard 模型在一些特定条件下可能是可积的，而二维和三维Hubbard 模型不再存在严格解，数值计算方法来求解Hubbard 模型难以避免。鉴于Hubbard 模型的崇高地位，前人已经发展了大量“特定的”近似解析加数值方法来处理这一问题，典型的方法包括(中文翻译不确，请谅解只写英文名称)：

(1) density matrix renormalization group (DMRG)

(2) exact diagonalization/dynamical mean-field theory

(3) constrained path auxiliary field Monte Carlo

(4) infinite projected entangled-pair states

(5) density matrix embedding theory

(6) dynamical cluster approximation

(7) cellular dynamical mean-field theory

(8) ……

有意思的是，铜氧化物高温超导体系中都存在平移和旋转对称破缺的电子条纹相，它是理解高温超导电性不能回避的问题。既然Hubbard 模型宣称能够描述高温超导的主要特征，自然也需要很好地重现电子条纹相的基本物理。遗憾的是，上述各种方法中，方法(1) ~ (4) 重现了电子条纹相，展示了比d 波超导电性更高的强度和更长的关联长度。而方法(5) ~ (7) 则未能重现电子条纹相，只是展示了有限温度的d 波超导。因此，关于这些方法可靠性的疑问立即凸显出来。

大量的尝试和检验都证实这些方法给出的不同基态能量非常接近，而基态之不同很可能源于每一种方法中存在的细微差别和缺失。如果不能排除这些差别和缺失，那么每一种方法的可靠性就值得怀疑，虽然这种怀疑未必就是合理的。使用这些方法的诸君各有说辞，让读者难以判定谁对谁错、谁是谁非，也许都对都是，也许都错都非。

怎么办呢！来自斯坦福大学物理系、斯坦福大学材料与能源科学研究院和斯坦福大学Geballe 先进材料实验室的几位学者(通讯作者 Tomas P. Devereaux)与北达科他大学物理系同行合作，对此问题开展了广泛的数值模拟研究。他们的思路看起来有些独特：如果能够发展一种有限温度计算方法，通过引入足够强的自旋序竞争涨落，一方面就可能较易克服低温下各电子相之间的能量势垒，使得计算进程尽快达到基态；另一方面，体系高温下的关联长度将显著减小，借助较小的点阵来实施计算就成为可能，可以有效排除计算的有限尺寸效应。立足于这一思路，作者利用行列式量子蒙特卡洛(determinant quantum Monte Carlo, DQMC) 这一有限温度精确(exact)求解方法获得真正的基态。虽然量子蒙特卡洛模拟中费米子符号问题在低温区可能无法解决，但计算结果将有限温区区间内竞争条纹相很好地展现出来。与此同时，作者也利用密度矩阵重整化群(DMRG)方法进行印证计算，以求结果的可靠性。

借助这一方法，作者以包含次近邻跳跃(hopping)的Hubbard 模型为对象，计算了覆盖整个电子掺杂和空穴掺杂区间的实空间自旋关联函数与电子条纹相相图。与前人工作比较，这一工作揭示了次近邻跃迁对电子条纹相稳定性的影响，电子掺杂时自旋非公度相会消失，而空穴掺杂时半填充的条纹相也会消失。计算结果与一系列实验观测大致吻合，预示出Hubbard 模型的确可以描述电子和空穴掺杂铜氧化物中的条纹相和电子相图，这一点应算难能可贵，值得张扬。其中几幅自旋关联函数实空间分布示于图7。图中条纹相竖直排列，让您能感觉到“此处文生挥墨尽，只留笔下竖成书”的味道。

图7. DQMC计算得到的自旋关联函数分布，U / t = 6, t´/ t = -0.25,T / t = 0.22, p 为空穴掺杂浓度。

当然，这一组合计算方法依然受到有限点阵大小和符号问题的限制，对计算大尺度动力学问题显得后劲不足。诚然，方法本身的可靠性依然需要与实验比对才能获得认可，数值方法的内禀缺憾依然故我、未能克服。作者坦率地承认追随模型之路仍然漫长。而笔者认为，此去长路中那种让人欢喜让人忧的感觉将成为物理人一生的属性和命运。该工作以“Stripe order from the perspective of the Hubbard model”为题发表于 npj Quantum Materials 3, 22 (2018)上。看君有意，可点击本文底部的“阅读原文”，御览详细的数据与讨论。

备注：

(1) 此文撰写得到李建新老师、万贤纲老师支持，谨致谢意！

(2) 封面图片来自于 https://www.nature.com/article-assets/npg/ncomms/2016/160908

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